Координаты х и у

Содержание

Ось абсцисс и ординат. Прямоугольная система координат

Координаты х и у

Французский математик Рене Декарт преддложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

А вот и координаты увлекательных уроков математики: на интерактивной платформе и в комфортном темпе! Запишите ребенка на бесплатный вводный урок в онлайн-школу Skysmart, чтобы закрыть пробелы по школьной программе и не бояться контрольных.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидово пространство состоит из трех взаимно перпендикулярных прямых: Ох, Оу, Оz, где Оz — ось аппликат. По направлению координатных осей есть разделение на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке О, которую называют началом. У каждой оси есть положительное направление, которое отмечается стрелкой.

Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой.

Объясняем на пальцах! Если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Также образуется левая система координат. Совмещать обе системы нет смысла, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу.

Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.

Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на ОуyM. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.

Координаты точки в трехмерном пространстве

Сформулируем определение точки М в трехмерном пространстве.

Пусть Mx, My, Mz — это проекции точки М на соответствующие оси Оx, Оy, Оz. Тогда значения этих точек на осях примут значения xM, yM, zM. Как это выглядит на координатных прямых:

Чтобы получить проекции точки М, нужно добавить перпендикулярные прямые Оx, Оy, Оz, продолжить их и изобразить в виде плоскостей, которые проходят через М. Так плоскости пересекутся в Mx, My, Mz.

У каждой точки трехмерного пространства есть свои данные (xM, yM, zM), которые являются координатами точки М.

xM, yM, zM — это числа, которые являются абсциссой, ординатой и аппликатой данной точки М.

Верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку М трехмерного пространства.

Ну все, вроде бы справились. А если не совсем — приходите разбираться с системой координат на веселых задачках в Skysmart. Будет увлекательно и интерактивно!

Источник: https://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat

Урок 79. декартова система координат на плоскости – Математика – 6 класс – Российская электронная школа

Координаты х и у

Математика

6 класс

Урок № 79

Декартова система координат на плоскости

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • прямоугольная система координат;
  • координатная плоскость;
  • координатная ось, координата точки;
  • изображение точек с действительными координатами на плоскости.

Тезаурус

Координатная плоскость. Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Координатные оси пересекаются в точке, являющейся началом отсчёта для каждой из них.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла, которые называются координатными четвертями.

Координаты точки М (х; у), где х – абсцисса, у – ордината точки.

Обязательная литература:

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом. Единичные отрезки осей возьмём равными друг другу.

Ось х называют осью абсцисс – расположена горизонтально, направлена вправо. Ось у называют осью ординат – расположена вертикально, направлена вверх.

Положительное направление на осях указывается стрелкой.

Точку пересечения осей называют началом координат.

Оси взаимно перпендикулярны, поэтому заданную таким образом систему координат называют прямоугольной.

Оси координат разделяют плоскость на 4 угла – координатные четверти. Обозначают римскими цифрами как показано на рисунке.

Одним из первых, кто начал широко использовать прямоугольную систему координат в своих исследованиях, был французский философ и математик Рене Декарт, поэтому её часто называют декартовой системой координат.

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, параллельные осям координат.

Прямая, параллельная оси y, пересечёт ось x в точке A1, а прямая, параллельная оси x, пересечёт ось y в точке A2. Координату точки A1 на оси x называют абсциссой точки A.

Координату точки A2 на оси y называют ординатой точки A. Абсциссу x и ординату y точки A называют координатами точки A.

Координаты точки, записывают в круглых скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: М (х; у).

Важно!

х – первая координата

у – вторая координата

Поменять местами х и у нельзя – получится другая точка.

Поэтому пару координат (x; y) точки A называют упорядоченной парой чисел.

Если на плоскости задана прямоугольная система координат хOу, то:

– каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (координаты точки);

– разным точкам плоскости соответствуют разные упорядоченные пары чисел;

– каждая упорядоченная пара чисел соответствует одной точке плоскости.

То есть установлено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Алгоритм построения точки на координатной плоскости

Построим точку А(3; 6).

Введём прямоугольную систему координат.

На каждой оси откладываем заданные координаты х и у (x > 0 и y > 0, значит, точка A расположена в I координатной четверти).

Проводим перпендикуляры к оси х и оси у.

Точка их пересечения – искомая точка.

В(– 4; 5) – имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату, значит, расположена во II четверти.

С(– 8; – 4) – имеет обе отрицательные координаты, значит, расположена в III четверти.

D(9; – 2) – имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату, значит, расположена в IV четверти.

F(6; 0), E(– 5; 0) – точки лежат на оси абсцисс.

H(0; – 5) – точка лежит на оси ординат.

O(0; 0) – начальная точка системы координат.

В географии положение объектов на земной поверхности определяется двумя координатами: широтой и долготой.

В концертном зале своё кресло можно найти по номеру ряда и места.

В шахматах каждой клетке соответствует буква столбца и цифра ряда.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Построить прямую АВ, если А(3; 2), В(– 3; – 4).

Найти:

1) координаты точек пересечения прямой AB с осями;

2) координаты середины отрезка AB.

Шаг 1. Строим точки А и В по их координатам.

Шаг 2. Проводим прямую АВ.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осями координат, обозначаем их буквами M и N. Определяем их координаты:

М (1; 0), N (0; – 1).

Шаг 4. Находим по графику середину отрезка АВ, это точка N (0; – 1).

Ответ: координаты точек пересечения прямой AB с осями: М (1; 0), N (0; – 1), координаты середины отрезка AB: N (0; – 1).

Тип 2. Нарисуйте фигуру, последовательно соединяя точки

(0; 4), (– 2; – 2), (3; 2), (– 3; 2), (2; – 4), (0; 4).

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6921/conspect/236555/

Этюд о координатах

Координаты х и у
Изображение с сайта omartasatt.ru

Человеку всегда было важно понять свое место в окружающем мире. Причем не только в пространстве, но и во времени, и в социуме.

Оставим в стороне время и социум, это тема отдельного большого разговора. Сосредоточимся на пространстве.

Как определить свое местоположение, местоположение других людей и окружающих предметов? И, что даже более важно, как сообщить это местоположение другим?

Что определить абсолютное местоположение невозможно люди поняли очень давно. Можно только относительно чего либо, какого либо ориентира. Пример такого относительного позиционирования можно найти у Конан Дойля в “Обряд дома Месгрейвов”. Помните?

“Сколько надо сделать шагов?”
“На север – десять и десять, на восток – пять и пять, на юг – два и
два, на запад – один и один и потом вниз”.

В современной терминологии, ориентир и набор условий, которые определяют его использование, называют системой координат. А сами координаты определяют положение объекта в этой системе.

Развитие мореплавания, астрономии, геометрии, других наук, потребовало более точного и единообразного способа задания координат объектов. Давайте повнимательнее посмотрим на некоторые системы координат, их применение, изменение, и взаимосвязь между ними. В этой статье, как всегда, будет математика, но почти не будет физики.

Одномерная система координат

Давайте вспомним статью “Сага о треугольниках”. Там я немного касался темы систем координат, когда говорил о прямой и плоскости. Начнем с простейшего случая – координатного луча.

Точку, относительно которой указывается положение, или координата, других точек называют началом координат. Обычно ее обозначают “0”. Расстояние от начала координат до точки А (в нашем примере) называют координатой. В данном случае координата может быть только положительной, что кажется лишним, и искусственным ограничением. Это можно изменить

Название “координатная прямая” не совсем верное. Прямая не имеет направления. Луч имеет направление, но при этом имеет начало (как в первом случае). Тем не менее, буду использовать именно термин координатная прямая.

Но для любителей точности могу сказать, что так как точка делит прямую на два луча, то направление одного из них можно принять за положительное, а другого за отрицательное. Направление положительного луча обозначим стрелкой, а направление отрицательного ничем не будет обозначаться.

Точка, разделившая прямую на два координатных луча, относительно которой указывают местоположение (координаты) других точек, точно так же называется началом координат.

В этом примере “координату точки А” можно просто обозначить как “А”, и она положительна. Координата точки Б отрицательна и обозначается как “-Б”. Расстояние между двумя точками определяется как разность их координат. Исходя из этого получим, для нашего примера, расстояние АБ=А-(-Б)=А+Б.

Несмотря на простоту эта система координат применяется достаточно широко. Посмотрите на обычную линейку. Посмотрите на градусник. И это лишь простейшие примеры того, где она применяется.

Двумерная прямоугольная система координат. Декартова система координат

Теперь возьмем две пересекающиеся под прямым углом координатные прямые на плоскости. Мы получим самую широко используемую систему координат Декартову прямоугольную систему координат. Ее знают все еще со школьной скамьи. Ее я тоже упоминал, кратко, в статье “Сага о треугольниках”. Давайте посмотрим на нее внимательнее.

Пока все просто, совсем как в школьных учебниках. Теперь координаты точки на плоскости задаются парой чисел. Точка А имеет координаты (Xа,Ya), а точка Б (Хб,-Yб). Координата Х называется абсциссой, а Y ординатой. Расстояние между точками А и Б, или длина отрезка АБ, теперь определяется гораздо сложнее

Откуда взялась эта формула? Если бы отрезок АВ был параллелен оси Х, то его длина была бы равна Хв-Ха, точно так же, как в одномерной системе координат. А если он будет параллелен оси Y, то Yb-Ya. Но у нас отрезок координатным осям не параллелен. А теперь посмотрите на эту же иллюстрацию под несколько другим углом

Видите прямоугольный треугольник? Да, мы опять встретили старого знакомого. И наш отрезок это гипотенуза треугольника. Если вспомнить, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то приведенная выше формула становится совершенно очевидной и понятной.

В декартовой системе координат можно задавать не только точки, но и произвольные плоские кривые (мы пока говорим о плоскости). Кривые задаются функциями определяющими зависимость между X и Y. Вот примеры нескольких, хорошо знакомых вам, еще со школы, кривых

Пока ничего особо интересного не было. До сих пор мы не выходили за пределы школьного учебника, но сейчас сделаем небольшой, совсем небольшой, шаг в сторону аналитической геометрии. Не пугайтесь, для понимания будет достаточно знаний геометрии и тригонометрии в рамках школьной программы.

Иногда нужно сменить систему координат, например, для упрощения расчетов. Так координаты вазы на столе можно отсчитывать от угла комнаты, а можно от угла стола. И тут у нас возникает вопрос, а как же изменятся координаты? Другими словами, нам нужны правила преобразования координат между двумя системами координат.

Сначала рассмотрим простейший пример переноса точки начала координат из точки О в точку О1. При этом у нас координатные оси новой системы координат будут параллельны координатным осям старой системы координат

Тут все просто, простейшая арифметика. Мы сдвинули точку начала координат O(0,0) в точку O1(dx,dy). При этом, в новой системе координат точка О1 будет иметь координаты (0,0). Преобразование координат между старой и новой системами будет таким

Но мы можем не только перенести начало координат, но и повернуть новую систему координат.

В этом случае преобразование координат будет сложнее. Я не буду приводить полный вывод формул преобразования координат, что бы излишне не усложнять статью, но покажу, откуда они берутся. Для этого рассмотрим упрощенный случай поворота системы координат без переноса ее начала

Поворот системы координат вокруг своего начала на угол α против часовой стрелки эквивалентен повороту точки А вокруг начала координат на тот же угол, но уже по часовой стрелке. Мы видим два прямоугольных треугольника. Если связать изменение абсциссы и ординаты точки А с углом поворота и добавить сдвиг начала координат, то получим вот такие формулы преобразования

Те, кто знаком с аналитической геометрией, без сомнения, узнали эти формулы. А остальные теперь узнали, откуда они взялись и могут просто применять их, если потребуется.

Давайте вернемся в рамки школьной программы. Кроме замены системы координат возможен и более простой случай преобразования координат. Я говорю об изменении масштаба по осям. По другому это можно назвать деформацией.

Масштаб по осям Х и Y может быть разным. При этом точка начала координат остается на месте. Я не буду приводить формулы преобразований, настолько они просты.

Все преобразование будет сводиться к умножению, или делению, на коэффициент масштабирования.

Безусловно, возможно и одновременное выполнение переноса центра координат с поворотом и масштабированием.

Двумерные системы координат. Общий случай

На самом деле, система координат не обязательно требует прямого угла между осями координат. Угол может быть любым. Если при этом оси координат остаются прямыми линиями мы получим аффинную систему координат. Пример аффинной системы можно найти в статье “Сага о треугольниках”, правда там я ее так не называл.

Но координатные оси не обязаны быть прямыми. Возможен, например, такой случай

Рассмотрение подобных систем координат выходит далеко за рамки статьи, поэтому я ограничусь лишь этим примером.

Трехмерная декартова система координат

А если мы перейдем в более привычный нам трехмерный мир? К системе координат добавится ось Z. Теперь у нас Х это ширина, Y это высота, а Z это глубина пространства. Если воспользоваться обычным языком, а не математическим. Координата Z называется аппликатой

При этом с направлением оси Z могут быть варианты. Она может идти от нас, как показано на рисунке, или к нам. Это не меняет саму суть системы, но влияет на знак координаты z. Иногда говорят о правосторонней и левосторонней системах координат. На рисунке я изобразил левостороннюю. Если бы ось Z шла к нам, то система была бы правосторонней.

Точки Ayoz, Axoz и Axoy, на рисунке, являются проекциями точки А на соответствующую координатную плоскость.

С трехмерной декартовой системой координат возможны те же самые преобразования, которые мы рассматривали для двумерной. Но сами формулы будут гораздо сложнее и я не буду их приводить. При желании, их можно найти в учебниках аналитической геометрии.

Полярная система координат

Вы когда-нибудь задумывались о том, насколько противоестественной для человека является декартова система координат? Действительно, эта система фактически “взгляд со стороны”, тогда как человек чаще всего чувствует центром именно себя. Вы же не считаете, что, например, дерево расположено от вас в 5 шагах точно направо и 8 шагах точно вперед? Гораздо привычнее сказать, что дерево впереди и немного правее вас и расстояние до него шагов 10.

Этого мало? Посмотрите, например, на свою руку. Она имеет несколько центров вращения – плечо, локоть. И длина костей руки неизменна. Посмотрите на промышленных роботов, например, работающих на сборке автомобиля. Та же самая картина, несколько центров вращения (называемых осями) и сегменты неизменной длины.

Так не проще ли задавать координаты в виде угла поворота относительно центра вращения и расстояния от центра вращения до точки? Пилоты самолетов примерно этим и пользуются. Например, другой самолет на 10 часах и в 100 метрах означает, что он впереди и левее на 60 градусов, а расстояние до него 100 метров.

В математике такая система координат называется полярной. Вместо расстояний по осям в ней задается расстояние от полюса, центра координат, и угол, отсчитываемый против часовой стрелки, от полярной оси.

В полярной системе координаты точки А будут (r,φ). Выглядит непривычно? Между тем, полярная система координат, хоть и менее распространена, чем декартова, среди не математиков, находит широкое применение.

При этом надо отметить, что угол φ обычно лежит в пределах от 0 до 180 градусов. Или, что тоже самое, от 0 до π.

Если угол больше 180 градусов, то меняют на угол противоположного знака (отсчет не против, а по часовой стрелке).

Уравнениях некоторых кривых в этой системе выглядят проще, чем в декартовой

Да, уравнение окружности, центр которой не расположен в полюсе, выглядит сложноватым. Зато уравнение окружности с центром в полюсе очень простое. А мы ведь всегда можем сменить систему координат перенеся полюс. Прямая линия в полярной системе задается через нормаль, а не двумя точками, но само уравнение достаточно простое.

Кроме механики, я уже говорил о движениях роботов, полярная система находит применение и для работы с комплексными числами. А значит, широко применяется, например, в электротехнике и электронике (помните угол сдвига фазы?). Может использоваться и для векторных вычислений.

Я не буду рассматривать преобразования (сдвиги и вращения) для полярной системы координат. Те, кто в таких преобразованиях нуждаются, аналитическую геометрию и так знают. А для остальных это будет не слишком интересно, Но покажу, как она связана с ранее описанной декартовой системой координат. Да, это опять будут прямоугольные треугольники

Теперь мы можем выразить угол через отношение катетов, то есть координат точки А. А длину вектора r определить через теорему Пифагора. Точно так же легко выполняется и обратное преобразование.

Но давайте посмотрим на эти формулы внимательнее, нет ли тут скрытых проблем? А они есть! Что если наша точка лежит на одной из координатных осей? Увидели? Я специально выделил это красным. Это показывает, что нельзя бездумно применять формулы. Поэтому угол φ обычно вычисляют по другим формулам

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5b935f60343d6c00a9f52b06/etiud-o-koordinatah-5c9b13fabc05f82fd5572ce0

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, трехмерная система координат, координаты точек

Координаты х и у

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Опиши задание

Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях.

Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой.

Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если -3, то соответственное расстояние 3. Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на Ox, равна действительному числу xM . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении Ox и Оу. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число xM называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки Mx на Ох, а как проекцию точки My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, где послучим соответственные точки пересечения  Mx и My .

Тогда точка Mx на оси Ох имеет соответствующее число xM , а My на Оу – yM. На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (xM, yM), называемую ее координатами. Абсцисса M – это xM , ордината M – это yM .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (xM, yM) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются Mx, My, Mz,  являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz. Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM. Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM) , которые имеют название координаты точки M, , xM, yM, zM- это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/prjamougolnaja-sistema-koordinat-na-ploskosti-i-v/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.